Question

已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.

(1)若关于x的方程f(x)＝－x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；

(2)证明：对任意的正整数n，不等式2＋＋＋…＋ >ln(n＋1)都成立．

 

Answer 1

(1) ln 3－1≤b<ln 2＋. (2)见解析

【解析】(1)f(x)＝ln(x＋1)－x2－x，由f(x)＝－x＋b，得ln(x＋1)－x2＋x－b＝0，

令φ(x)＝ln(x＋1)－x2＋x－b，则f(x)＝－x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，φ′(x)＝－2x＋＝ ，

当x∈[0，1)时，φ′(x)>0，于是φ(x)在[0，1)上单调递增；

当x∈(1，2]时，φ′(x)<0，于是φ(x)在(1，2]上单调递减．

依题意有

解得ln 3－1≤b<ln 2＋.

(2)证明：方法一，f(x)＝ln(x＋1)－x2－x的定义域为{x|x>－1}，则有f′(x)＝，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－(舍去)，

当－1<x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

∴f(0)为f(x)在(－1，＋∞)上的最大值．

∴f(x)≤f(0)，故ln(x＋1)－x2－x≤0(当且仅当x＝0时，等号成立)．

对任意正整数n，取x＝>0得，ln<＋，

∴ln<.

故2＋＋…＋≥ln 2＋ln＋…＋ln ＝ln(n＋1)．

方法二，数学归纳法证明：

当n＝1时，左边＝＝2，右边＝ln(1＋1)＝ln 2，显然2>ln 2，不等式成立．

假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，2＋>ln(k＋1)成立，

则当n＝k＋1时，有2＋＋ln(k＋1)．

做差比较：ln(k＋2)－ln(k＋1)－＝ln －＝ln－.

构建函数F(x)＝ln(1＋x)－x－x2，x∈(0，1)，

则F′(x)＝<0，

∴F(x)在(0，1)上单调递减，∴F(x)<F(0)＝0.

取x＝(k≥1，k∈N*)，ln－<F(0)＝0.

即ln(k＋2)－ln(k＋1)－<0，

亦即＋ln(k＋1)>ln(k＋2)，

故n＝k＋1时，有2＋＋ln(k＋1)>ln(k＋2)，不等式也成立．

综上可知，对任意的正整数，不等式都成立．