Question

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D。 （1）证明：点F在直线BD上；
（2）设=，求△BDK的内切圆M的方程。

Answer 1

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程为x=my-1（m≠0）
将x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0
从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4   ①
直线BD的方程为
即
令y=0，得
所以点F（1，0）在直线BD上；
（2）由①知，x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1
因为
（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=8-4m²
故8-4m²=，解得m=
所以l的方程为3x+4y+3=0，3x-4y+3=0
又由①知
故直线BD的斜率
因而直线BD的方程为
因为KF为∠BKD的平分线，故可设圆心M（t，0）（-1＜t＜1），M（t，0）到l及BD的距离分别为
，由得或t=9（舍去）
故圆M的半径
所以圆M的方程为。