Question

4．经过点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）作直线l交椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于A、B两点，且M为弦AB的中点．
（1）求直线l的方程；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”求出AB所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的坐标，由两点间的距离公式求解．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1$，
两式作差得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}=\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$，
即$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{3}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）弦AB的中点，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{3×2}{4×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴所求直线l的方程：y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}（x-1）$，即y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
则|AB|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}=\sqrt{7}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．