Question

（2013•红桥区二模）如图，已知⊙O的直径AB=14，PB、PC分别切⊙O于B、C两点，PA交⊙O于点D，且AC：CB=1：

3

，则∠BPC=

60°

；AD=

4

7

．

Answer 1

分析：利用圆的性质、含30°的直角三角形的边角关系、等边三角形的性质、圆的切线的性质、切割线定理即可得出．

解答：解：①连接AC、BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

3

，∴∠BAC=60°．②∵PB、PC分别切⊙O于B、C两点，∴∠PBC=∠PCB=∠BAC=60°，∴∠BPC=60°．
在Rt△ABC中，BC=AB•sin60°=14×

3

2

=7

3

=PB．
在Rt△ABP中，PA²=PB²+AB²=(7

3

)2+142=(7

7

)2，∴PA=7

7

．
由切割线定理可得：PB²=PD•PA．∴PD=

(7 3 )2

7 7

=3

7

．
∴AD=PA-PD=4

7

．
故答案分别为60°，4

7

．

点评：熟练掌握圆的性质、含30°的直角三角形的边角关系、等边三角形的性质、圆的切线的性质、切割线定理是解题的关键．