Question

（1）设函数g(x)=

x-1

2

(x∈R)，且数列{c_n}满足c₁=1，c_n=g（c_n-1）（n∈N，n＞1）；求数列{c_n}的通项公式．
（2）设等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，且

a3

b4+b6

+

a7

b2+b8

=

2

5

，

Sn

Tn

=

An+1

2n+7

，S₂=6；求常数A的值及{a_n}的通项公式．
（3）若dn=

an(n为正奇数) cn(n为正偶数)

，其中a_n、c_n即为（1）、（2）中的数列{a_n}、{c_n}的第n项，试求d₁+d₂+…+d_n．

Answer 1

分析：（1）先求出数列{c_n}的递推公式，再对递推公式进性构造新数列，利用新数列的通项公式，求数列{c_n}的通项公式．
（2）先利用等差数列的性质求出：

a5

b5

=

2

5

，再对

Sn

Tn

=

An+1

2n+7

变形求出常数A的值；再把所求的A的值代入

Sn

Tn

=

An+1

2n+7

和S₂=6；相结合求出数列{a_n}的前n项和分别为S_n和就可求出{a_n}的通项公式．
（3）把（1）、（2）中求出的数列{a_n}、{c_n}的通项公式代入；再分n为奇数和偶数两种情况分别求和即可．

解答：解：（1）由题意：cn=

1

2

(cn-1-1)，
变形得：cn+1=

1

2

(cn-1+1)，（1分）
∴数列{c_n+1}是以

1

2

为公比，c₁+1=2为首项的等比数列．（3分）
∴cn+1=2•(

1

2

)n-1，
即cn=(

1

2

)n-2-1．（5分）
（2）∵由等差数列{a_n}、{b_n}知：b₄+b₆=b₂+b₈=2b₅，a₃+a₇=2a₅；
∴由

a3

b4+b6

+

a7

b2+b8

=

2

5

得：

a5

b5

=

2

5

，（6分）
∴

S9

T9

=

a1+a9 2 ×9

b1+b9 2 ×9

=

a5

b5

=

2

5

，
∵

Sn

Tn

=

An+1

2n+7

，
∴

9A+1

2×9+7

=

2

5

，解得A=1；
（8分）
∴

Sn

Tn

=

n+1

2n+7

=

n(n+1)

n(2n+7)

，S_n和T_n分别是等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和；
∴可设S_n=kn（n+1），T_n=kn（2n+7）；
∵S₂=6，
∴k=1，即S_n=n²+n．（10分）
当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
综上得：a_n=2n．（12分）
（3）当n=2k+1（k∈N^*）时，d₁+d₂+…+d_n=（a₁+a₃++a_2k+1）+（c₂+c₄++c_2k）
=2(k+1)2+

4

3

[1-(

1

4

)k]-k=

n2+n+2

2

+

4

3

[1-(

1

2

)n-1]（14分）
当n=2k（k∈N^*）时，d₁+d₂++d_n=（a₁+a₃++a_2k-1）+（c₂+c₄++c_2k）
=2k2+

4

3

[1-(

1

4

)k]-k=

n2-n

2

+

4

3

[1-(

1

2

)n]．（16分）

点评：本题涉及了等差数列的求和公式以及等比数列求和公式的应用．在对等比数列求和时，一定要清楚公比的取值，再代入公式．