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精英家教网如图是一个二次函数y=f(x)的图象
(1)写出这个二次函数的零点,并求这个二次函数的解析式;
(2)设函数g(x)=
f(x)+2xx
,判断函数g(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
分析:(1)由y=f(x)的图象得出零点,求出解析式;
(2)用单调性定义证明g(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
解答:解:(1)由图象知,y=f(x)的图象与x轴交点为(-3,0),(1,0),
∴y=f(x)的零点是x=-3和x=1;
设y=f(x)=a(x+3)(x-1),图象过点(-1,4),
∴a(-1+3)(-1-1)=4,
解得a=-1,
∴y=f(x)=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3;
(2)g(x)在区间(0,+∞)上是减函数,证明:
∵f(x)=-x2-2x+3;
g(x)=
f(x)+2x
x
=
-x2-2x+3+2x
x
=-x+
2
x

在(0,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2
则g(x1)-g(x2)=(-x1+
2
x1
)-(-x2+
2
x2
)=(x2-x1)+
2(x2-x1)
x1x2
=
(x2-x1)(x1x2+2)
x1x2

∵0<x1<x2
∴x2-x1>0,x1x2>0,
∴g(x1)>g(x2);
∴g(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
点评:本题考查了利用函数的图象求解析式以及函数单调性的判定问题,是基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图是一个二次函数y=f(x)的图象
(1)写出这个二次函数的零点
(2)求这个二次函数的解析式
(3)当实数k在何范围内变化时,函数g(x)=f(x)-kx在区间[-2,2]上是单调函数?

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图是一个二次函数y=f(x)的图象.
(1)写出这个二次函数的零点;
(2)写出这个二次函数的解析式及x∈[-2,1]时函数的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图是一个二次函数y=f(x)的图象.
(1)写出f(x)>0的解集;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)当实数k在何范围内变化时,g(x)=f(x)-kx在区间[-2,2]上是单调函数.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图是一个二次函数y=f(x)的图象.
(1)写出这个二次函数的零点;
(2)写出这个二次函数的解析式;
(3)当x∈[-4,0]时,仔细观察图象,直接写出函数的值域.

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