Question

12．已知点P（x，y）在圆（x-2）²+y²=1上运动，分别求下列各式的最大值和最小值．
（1）z=2x+y；
（2）z=$\frac{y}{x}$；
（3）z=x²+2x+y²-2y．

Answer 1

分析 （1）设x=2+cosα，y=sinα，则z=2x+y=4+2cosα+sinα=4+$\sqrt{5}$sin（α+θ），即可得出结论；
（2）设y=zx，代入可得（1+z²）x²-4x+3=0，利用△=16-12（1+z²）≥0，即可求出z的最大值和最小值；
（2）求出（-1，1）到圆心（2，0）的距离，即可求出z的最大值和最小值．

解答 解：（1）设x=2+cosα，y=sinα，则
z=2x+y=4+2cosα+sinα=4+$\sqrt{5}$sin（α+θ），
∴z_max=4+$\sqrt{5}$，z_min=4-$\sqrt{5}$；
（2）y=zx，代入可得（1+z²）x²-4x+3=0，
∴△=16-12（1+z²）≥0，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤z≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴z_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，z_min=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）z=x²+2x+y²-2y=（x+1）²+（y-1）²-2，
∴z_max=（$\sqrt{（2+1）^{2}+（0-1）^{2}}$+1）²-2=9+2$\sqrt{10}$，z_min=（$\sqrt{（2+1）^{2}+（0-1）^{2}}$-1）²-2=9-2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．