Question

4．设a，b，c是正实数，且满足abc=1，证明：（a-1+$\frac{1}{b}$）（b-1+$\frac{1}{c}$）（c-1+$\frac{1}{a}$）≤1．

Answer 1

分析 令a=$\frac{x}{y}$，b=$\frac{y}{z}$，c=$\frac{z}{x}$，x、y、z∈R⁺，原不等式等价于（x+y-z）（x-y+z）（-x+y+z）≤xyz，再换元，利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：令a=$\frac{x}{y}$，b=$\frac{y}{z}$，c=$\frac{z}{x}$，x、y、z∈R⁺，原不等式等价于（x+y-z）（x-y+z）（-x+y+z）≤xyz．
记u=x-y+z，v=x+y-z，ω=-x+y+z，此三数任两个之和都为正数，
∴它们中间最多只有一个不是正数．
如果恰有一个数不是正数，则uvω≤0＜xyz，不等式得证．
如果这三个数都大于零，则依均值不等式$\sqrt{uv}$≤$\frac{（x-y+z）+（x+y-z）}{2}$=x．
同理，$\sqrt{vω}$≤y，$\sqrt{ωu}$≤z．于是，uvω≤xyz，不等式成立．
综上所述，原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．