Question

15．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的6个点C₁、C₂、C₃、C₄、C₅、C₆，线段AB上有异于A、B的四个点D₁、D₂、D₃、D₄．问：
（1）以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点可作几个三角形？其中含点C₁的三角形有几个？
（2）以图中的12个点中的4个点为顶点可作多少个四边形？

Answer 1

分析 （1）由题意需要分三类，第一类，3个点全在半圆周上，第二类，2个点在半圆周上，第三类，1个点在半圆周上，根据分类计数原理可得．
（2）由题意需要分三类，第一类，4个点全在半圆周上，第二类，3个点在半圆周上，第三类，2个点在半圆周上，根据分类计数原理可得．

解答 解：（1）由题意需要分三类，第一类，3个点全在半圆周上有C₆³=20个，
第二类，2个点在半圆周上，有C₆²C₄¹=60个，
第三类，1个点在半圆周上，有C₆¹C₄²=36个，
根据分类计数原理可得，20+60+36=116个，
其中含点C₁的三角形，第一类，3个点全在半圆周上有C₅²=10个，
第二类，2个点在半圆周上，有C₅¹C₄¹=20个，
第三类，1个点在半圆周上，有C₄²=6个，
根据分类计数原理可得，10+20+6=36个‘
（2）由题意需要分三类，第一类，4个点全在半圆周上有C₆⁴=15个，
第二类，3个点在半圆周上，有C₆³C₆¹=120个，
第三类，2个点在半圆周上，有C₆²C₆²=225个，
根据分类计数原理可得，15+120+225=360个．

点评 本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，如何分类是关键，属于中档题．