Question

10．化简
（1）（sinx+cosx）²=1+sin2x；sinxcosxcos2x=$\frac{1}{4}sin4x$；sin⁴x-cos⁴x=-cos2x；
（2）$\frac{1}{sin10°}$-$\frac{\sqrt{3}}{cos10°}$；sin40°（tan10°-$\sqrt{3}$）；$\frac{tan20°+tan40°+tan120°}{tan20°tan40°}$．

Answer 1

分析 （1）展开两数和的平方公式结合二倍角的正弦化简（sinx+cosx）²；利用二倍角正弦化简sinxcosxcos2x；展开平方差公式，结合平方关系及二倍角的余弦化简sin⁴x-cos⁴x；
（2）通分后利用倍角公式及两角差的正弦求解$\frac{1}{sin10°}$-$\frac{\sqrt{3}}{cos10°}$；化切为弦，再由两角差的正弦求解sin40°（tan10°-$\sqrt{3}$）；利用两角和的正切化简$\frac{tan20°+tan40°+tan120°}{tan20°tan40°}$．

解答 解：（1）（sinx+cosx）²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+sin2x；
sinxcosxcos2x=$\frac{1}{2}•2$sinxcosxcos2x=$\frac{1}{2}sin2xcos2x=\frac{1}{4}•2sin2xcos2x=\frac{1}{4}sin4x$；
sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x．
故答案为：1+sin2x；$\frac{1}{4}sin4x$；-cos2x．
（2）$\frac{1}{sin10°}$-$\frac{\sqrt{3}}{cos10°}$=$\frac{cos10°-\sqrt{3}sin10°}{sin10°cos10°}$
=$\frac{-2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin10°-\frac{1}{2}cos10°）}{sin10°cos10°}$=$\frac{-2sin（-20°）}{\frac{1}{2}sin20°}=4$；
sin40°（tan10°-$\sqrt{3}$）=$sin40°（\frac{sin10°}{cos10°}-\sqrt{3}）$
=$sin40°•\frac{sin10°-\sqrt{3}cos10°}{cos10°}$=$sin40°•\frac{2sin（-50°）}{cos10°}$=$-\frac{sin80°}{cos10°}=-1$；
$\frac{tan20°+tan40°+tan120°}{tan20°tan40°}$=$\frac{tan20°+tan40°-tan60°}{tan20°tan40°}$
=$\frac{-tan60°tan40°tan20°}{tan20°tan40°}=-\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了三角函数中的恒等变换应用，是中档题．