Question

1．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{kx-y-2k+1≥0（k＜0）}\end{array}\right.$表示的区域的面积记为f（k），则f（k）的最小值为4．

Answer 1

分析 求出第三条边界与坐标轴的交点坐标，得到f（k）的解析式，利用基本不等式得出面积的最小值．

解答 解：直线kx-y-2k+1=0与坐标轴的交点坐标为（0，1-2k），（$\frac{2k-1}{k}$，0）．
∴平面区域的面积f（k）=$\frac{1}{2}$×（1-2k）×$\frac{2k-1}{k}$=$\frac{4{k}^{2}-4k+1}{-2k}$=-2k-$\frac{1}{2k}$+2，
∵k＜0，∴f（k）=-2k-$\frac{1}{2k}$+2≥2+2=4．当且仅当-2k=-$\frac{1}{2k}$即k=-$\frac{1}{2}$时，取等号．
故答案为：4．

点评 本题考查了平面区域的概念，基本不等式的应用，属于中档题．