Question

9．求函数y=$\frac{{2x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+x+1}$的值域．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，然后将分式转化为整式，利用判别式法进行求解即可．

解答 解：∵分母x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0恒成立，
∴函数的定义域为R，
由y=$\frac{{2x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+x+1}$得（x²+x+1）y=2x²+x+1，
即（y-2）x²+（y-1）x+y-1=0，
当y=2时，方程等价为x+1=0，即x=-1有解，即y=2成立，
当y≠2时，判别式△=（y-1）²-4（y-2）（y-1）=（y-1）（-3y+7）≥0，
得1≤y≤$\frac{7}{3}$且y≠2，
综上1≤y≤$\frac{7}{3}$，
即函数的值域为[1，$\frac{7}{3}$]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，先判断函数的定义域，利用判别式法是解决本题的关键．