Question

14．设f（x）是定义在R上的奇函数，在区间（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（-2）=0．则不等式f（2x）＜0的解集为{x|x＜-1或0＜x＜1}．

Answer 1

分析 由题意构造函数g（x）=xf （x），由求出g′（x）后根据条件判断出g（x）的单调性，由f（x）的奇偶性得到g（x）的奇偶性，由f（-2）=0得g（2）=0、还有g（0）=0，再通过奇偶性、单调性列出不等式组，求出不等式的解集．

解答 解：由题意设g（x）=xf（x），
则g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x），
∵在区间（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的偶函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∵f（-2）=0，∴f（2）=0；
即g（2）=g（-2）=0且，（0）=f（0）=0，
∴f（2x）＜0化为$\left\{\begin{array}{l}{g（2x）＞0}\\{2x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（2x）＜0}\\{2x＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（2x）＞g（-2）}\\{2x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（2x）＜g（2）}\\{2x＞0}\end{array}\right.$，
解得x＜-1或0＜x＜1，
∴不等式的解集是{x|x＜-1或0＜x＜1}，
故答案是：{x|x＜-1或0＜x＜1}．

点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，以及构造函数法，注意函数值为零时的自变量．