Question

5．已知函数f（x）=2sin²x+sinxcosx+cos²x（x∈R），求函数f（x）的最小正周期及递增区间．

Answer 1

分析 利用倍角公式、和差公式、平方关系可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（x-\frac{π}{4}）$+$\frac{3}{2}$，再利用三角函数的周期公式、正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：f（x）=2sin²x+sinxcosx+cos²x=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x+1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（x-\frac{π}{4}）$+$\frac{3}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=2π．
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z．
解得：2kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
∴函数f（x）的递增区间为[2kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$+2kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、平方关系、三角函数的周期公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．