Question

14．已知抛物线D的顶点是双曲线C：x²-$\frac{y^2}{15}$=1的中心，焦点与该双曲线的右顶点重合．
（1）求抛物线D的方程；
（2）过双曲线C的右焦点A的直线l交抛物线D于M，N两点．若直线l的斜率为1，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的右顶点和抛物线的焦点坐标即可得到结论．
（2）求出直线的方程，结合抛物线的定义，利用直线和抛物线相交的弦长公式进行求解即可．

解答 解：（1）由双曲线的方程得a=1，即双曲线的右顶点为（1，0），
则抛物线的焦点为（1，0），即抛物线的方程为y²=4x．
（2）∵a=1，b²=15，∴c²=1+15=16，即c=4，
则双曲线的右焦点A（4，0），
∵直线l的斜率为1，
∴直线的方程为y=x-4，代入y²=4x得（x-4）²=x-4，
即x²-9x+20=0，
则x₁+x₂=9，
则MN=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2=9+2=11．

点评 本题主要考查抛物线方程的求解以及直线和抛物线相交时的弦长公式，利用抛物线的定义是解决本题的关键．