Question

【题目】已知点的序列An(xn,0),n∈N*,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,……,An是线段An-2An-1的中点,……

(1)写出xn与xn-1,xn-2之间的关系式(n≥3);

(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：（1）根据题意，An是线段An﹣2An﹣1的中点，可得xn与xn﹣1、xn﹣2之间的关系式，

（2）由题意知a1=a，a2=﹣a，a3=a，由此推测：an=（﹣）n﹣1a（n∈N*）再进行证明．

详解：(1)当n≥3时,xn

(2)a1=x2-x1=a,

a2=x3-x2

=

a3=x4-x3

=

由此推测数列{an}的通项公式为an∈N*).

用数学归纳法证明:

①当n=1时,a1=x2-x1=a.

②假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,猜测成立,

即akn=k+1时,

ak+1=xk+2-xk+1=

=

.

根据①和②可知,对任意n∈N*,猜测an∈N*)成立,即数列{an}的通项公式为an∈N*).