Question

15．求函数y=x²-2ax-a²-1在[0，2]上的最小值g（a）和最大值M（a）．

Answer 1

分析 配方可得y=f（x）=（x-a）²-2a²-1，二次函数f（x）图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=a，分类讨论可得．

解答 解：配方可得y=f（x）=x²-2ax-a²-1=（x-a）²-2a²-1，
∵二次函数f（x）图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=a，
∴（1）当a＜0时，二次函数f（x）在[0，2]上单调递增，
∴g（a）=f（0）=-a²-1，M（a）=f（2）=-a²-4a+3；
（2）当0≤a＜1时，二次函数f（x）在[0，a]上单调递减，在（a，2]单调递增，
∴g（a）=f（a）=-2a²-1，M（a）=f（2）=-a²-4a+3；
（3）当1≤a≤2时，二次函数f（x）在[0，a]上单调递减，在（a，2]单调递增，
∴g（a）=f（a）=-2a²-1，M（a）=f（0）=-a²-1；
（4）当a＞2时，二次函数f（x）在[0，2]上单调递减，
∴g（a）=f（2）=-a²-4a+3，M（a）=3f（0）=-a²-1．

点评 本题考查二次函数在闭区间的最值，分类讨论并数形结合是解决问题的关键，属中档题．