Question

5．已知抛物线y²=4x，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式设出直线方程：y=$\sqrt{3}$（x-1），与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．利用点到直线的距离求出三角形的高，即可求解面积．

解答 解：根据抛物线y²=4x方程得：焦点坐标F（1，0），
直线AB的斜率为k=tan60°=$\sqrt{3}$
由直线方程的点斜式方程，设AB：y=$\sqrt{3}$（x-1）
将直线方程代入到抛物线方程当中，得：3（x-1）²=4x
整理得：3x²-10x+3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根与系数的关系得：x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，x₁•x₂=1，所以弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+3}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{3}$．
O到直线的距离为：d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
△AOB的面积为：$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于难题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．