Question

14．已知椭圆$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}（a＞b＞0）$直线$y=x+\sqrt{6}$与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，F₁，F₂为其左右焦点，P为椭圆C上的任意一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂．已知A为椭圆C上的左顶点，直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k₁，k₂满足${k_1}+{k_2}=-\frac{1}{2}$，直线MN的方程y=2x-2．

Answer 1

分析 利用△F₁PF₂的重心为G，内心为I，结合三角形的面积公式，直线y=x+$\sqrt{6}$与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，求出几何量，即可求出椭圆的方程；设直线l为y=k（x-1），直线l和椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．将y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理能求出直线MN的方程．

解答 解：设P（x₀，y₀）（y₀≠0），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则G（$\frac{{x}_{0}}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），
设I（x_I，y_I），∵IG∥F₁F₂，∴y_I=$\frac{{y}_{0}}{3}$，
∵|F₁F₂|=2c，∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₀|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•$\frac{{y}_{0}}{3}$，
∴2c•3=2a+2c，即a=2c，
∵直线y=x+$\sqrt{6}$与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，
∴b=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，∴a²-c²=3，
解得a=2，c=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意；
则直线l的斜率存在．设直线l为y=k（x-1），
直线l和椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
将y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得：
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
依题意：△=9k²+9＞0，
由韦达定理知：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
又k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=k（$\frac{{x}_{1}-1}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{2}+2}$）
=k[2-3（$\frac{1}{{x}_{1}+2}$+$\frac{1}{{x}_{2}+2}$）]，
$\frac{1}{{x}_{1}+2}$+$\frac{1}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+4}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
=$\frac{8{k}^{2}+4（3+4{k}^{2}）}{4{k}^{2}-12+16{k}^{2}+4（3+4{k}^{2}）}$
=$\frac{1+2{k}^{2}}{3{k}^{2}}$，
从而k_AM+k_AN=k（2-3•$\frac{1+2{k}^{2}}{3{k}^{2}}$）=-$\frac{1}{k}$=-$\frac{1}{2}$，
解得k=2，符合△＞0．
故所求直线MN的方程为：y=2（x-1）．
故答案为：y=2x-2．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆，直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．