Question

19．三棱锥P-ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，PC⊥AB，求证：
（1）AO⊥BC
（2）PB⊥AC．

Answer 1

分析 （1）要证AO⊥BC，只需要证BC⊥平面PAO，要只需要证PO⊥BC，PA⊥BC，只需要证PA⊥平面PBC，根据已知条件可证；
（2）利用三垂线定理以及三角形的高 交于一点得证．

解答 证明（1）∵PO⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，
∴PO⊥BC
又PA⊥BC，PO∩PA=P，
∴BC⊥平面PAO
∵AO?平面PAO
∴AO⊥BC；
（2）PO⊥面ABC，垂足为O，PA⊥BC，PC⊥AB，则OA⊥BC，OC⊥AB，又三角形的高交于一点，∴BO⊥AC，∴PB⊥AC．

点评 本题考查了空间几何体中的线线垂直，利用了线面垂直的判定定理和性质定理以及三垂线定理，考查学生的空间想象能力．