Question

15．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（x≥0）}\\{f（x+1）（x＜0）}\end{array}\right.$，若方程f（x）=-x+a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． [0，1）
• C． （-∞，1）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 由题知f（x）为分段函数，当x＜0时，由f（x）=f（x+1）可知f（x）为周期函数；当x大于等于0时函数为增函数，而方程f（x）=-x+a有且只有两个不相等的实数根即f（x）与y=-x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=-x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（x≥0）}\\{f（x+1）（x＜0）}\end{array}\right.$的图象如图所示，
作出直线l：y=a-x，向左平移直线l观察可得函数y=f（x）
的图象与函数y=-x+a的图象有两个交点，
即方程f（x）=-x+a有且只有两个不相等的实数根，
即有a＜1，
故选：C．

点评 本题考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想．