Question

14．已知函数f（x）=axe^x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）若直线y=e（x-$\frac{1}{2}$）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）设出切点坐标为（m，ame^m），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值．

解答 解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（e^x+xe^x）=a（1+x）e^x，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞-1，即函数的单调递增区间为（-1，+∞），
由f′（x）＜0，得x＜-1，即函数的单调递减区间为（-∞，-1），
若a＜0，由f′（x）＞0得x＜-1，即函数的单调递增区间为（-∞，-1），
由f′（x）＜0，得x＞-1，即函数的单调递减区间为（-1，+∞）；
（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（-1，+∞），函数的单调递减区间为（-∞，-1），
即当x=-1时，函数f（x）取得极大值为f（-1）=-$\frac{1}{e}$，无极小值；
（Ⅲ）设切点为（m，ame^m），
则对应的切线斜率k=f′（m）=a（1+m）e^m，
则切线方程为y-ame^m=a（1+m）e^m（x-m），
即y=a（1+m）e^m（x-m）+ame^m=a（1+m）e^mx-ma（1+m）e^m+ame^m=a（1+m）e^mx-m²ae^m，
∵y=e（x-$\frac{1}{2}$）=y=ex-$\frac{1}{2}$e，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（1+m）{e}^{m}=e}\\{a{m}^{2}{e}^{m}=\frac{1}{2}e}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即若直线y=e（x-$\frac{1}{2}$）是曲线y=f（x）的切线，则实数a的值是$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查导数的应用以及导数的几何意义，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论，综合性较强，运算量较大．