Question

在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C₁：3x²+4y²=1，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C₁上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的

3

、2倍后得到曲线C₂，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（2）点P为曲线C₂上一点，求点P到直线l的距离最大值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由ρ（2cosθ-sinθ）=6利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直线l的直角坐标方程．
设M（x，y）为曲线C₂上任一点，N（x′，y′）为曲线C₁上对应的点，依题意

x= 3 x′ y=2y′

，可得

x′= x 3 y′= y 2

，代入曲线C₁的方程即可得出．进而得出曲线C₂的参数方程．
（2）圆C₂的圆心为（0，0），利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离为d．因此曲线C₂上点P到直线l的距离最大值为d+r．

解答： 解：（1）由ρ（2cosθ-sinθ）=6可得：直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0．
设M（x，y）为曲线C₂上任一点，N（x′，y′）为曲线C₁上对应的点，
依题意

x= 3 x′ y=2y′

，∴

x′= x 3 y′= y 2

，
∵N（x′，y′）为曲线C₁上，∴3(

x

3

)2+4(

y

2

)2=1．
∴曲线C₂的参数方程为：

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数）．
（2）圆C₂的圆心为（0，0）圆心到直线的距离为d=

6

5

5

．
因此曲线C₂上点P到直线l的距离最大值为

6 5

5

+1．

点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆及圆的标准方程及其参数方程、点到直线的距离公式，考察了推理能力和技能数列，属于中档题．