Question

【题目】一动圆与定圆外切，同时和圆内切，定点A（1,1）.

（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程，并说明是何种曲线；

（2）M为E上任意一点， F为E的左焦点，试求的最小值；

（3）试求的取值范围；

Answer 1

【答案】(1) ；（2）13；（3）

【解析】

（1）求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可；

（2）利用椭圆的第二定义则=e=将|AM|+2|MF|转化为|AM|+|MN|，当A，M，N同时在垂直于左准线的一条直线上时，|AM|+2|MF|取得最小值；

（3）椭圆右焦点设为F1，连接MF1．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，求解即可，利用|MA|+|MF2|=|MA|+12﹣|MF1|=12﹣（|MF1|﹣|MA|）≥12﹣|AF1|，即可得出其最小值．

（1）圆x2+y2+6x+5=0的圆心为A（﹣3，0），半径为2；

圆x2+y2﹣6x﹣91=0的圆心为B（3，0），半径为10；

设动圆圆心为M（x，y），半径为x；

则MA=2+r，MB=10﹣r；

于是MA+MB=12＞AB=6

所以，动圆圆心M的轨迹是以A（﹣3，0），B（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．

a=6，c=3，b2=a2﹣c2=27；

所以M的轨迹方程为

（2）显然椭圆的a=6，c=3，e=，记点M到左准线的距离为|MN|，

则=e=，|MN|=2|MF|，即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|，

当A，M，N同时在垂直于左准线的一条直线上时，|AM|+2|MF|取得最小值，

即A点到左准线的距离1+．

（3）椭圆右焦点设为F1（3，0），连接MF1．

|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=12+|MA|﹣|MF1|．

即|MA|﹣|MF1|最大时，|MA|+|MF|最大．

在△AMF1中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，

|MA|﹣|MF1|=|AF1|=．

所以|MA|+|MF|的最大值是．

∵|AF1|==．

|MA|+|MF|=|MA|+10﹣|MF1|=12﹣（|MF1|﹣|MA|）≥12﹣|AF1|=12﹣，

其最小值为12﹣．

∴的取值范围