Question

19．给出下列四个不等式：①当x∈R时，sin x+cos x＞-$\frac{3}{2}$；②对于正实数x，y及任意实数α，有xsin2α•ycos2α＜x+y；③x是非0实数，则|x+$\frac{1}{x}$|≥2；④当α，β∈（ 0，$\frac{π}{2}$）时，|sin α-sin β|≤|α-β|．在以上不等式中不成立的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 由条件利用不等式的基本性质，正弦函数的单调性和值域，直线的斜率公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：∵sin x+cos x=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≥-$\sqrt{2}$＞-$\frac{3}{2}$，故①正确；
②对于正实数x，y及任意实数α，有xsin2α•ycos2α=$\frac{xy}{2}$sin4α≤$\frac{xy}{2}$，但$\frac{xy}{2}$ 不一定小于x+y，例如当x=y=10时，故②不正确；
③x是非0实数，则|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+|$\frac{1}{x}$|≥2，当且仅当x=±1时，取等号，故③正确；
④由于函数y=sinx在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，y=cosx＜1，故函数图象上任意两点连线的斜率大于零且小于1，
当α，β∈（ 0，$\frac{π}{2}$），且α≠β时，0＜$\frac{sinα-sinβ}{α-β}$＜1，∴$\frac{|sinα-sinβ|}{|α-β|}$＜1，∴|sin α-sin β|＜|α-β|，故④正确，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的基本性质，正弦函数的单调性和值域，直线的斜率公式，属于基础题．