Question

10．椭圆的中心在原点O，与双曲线2x²-2y²=1焦点相同，长轴长是2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆方程；
（2）A是椭圆上一点，F₁是椭圆左焦点，求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{A{F_1}}$的范围．

Answer 1

分析 （1）通过双曲线的焦点为（-1，0）、（1，0），椭圆的长轴长2a=2$\sqrt{2}$，计算即得结论；
（2）通过设A（x₁，y₁），利用F₁（-1，0）及点A满足椭圆方程化简$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{A{F_1}}$=$\frac{1}{2}$$（{x}_{1}+1）^{2}$$+\frac{1}{2}$，进而通过x₁∈[$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]即得结论．

解答 解：（1）∵双曲线2x²-2y²=1即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$的焦点为（-1，0）、（1，0），
∴所求椭圆的焦点为（-1，0）、（1，0），
设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则2a=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
又∵a²-b²=1，∴b²=1，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），由（1）知F₁（-1，0），
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{A{F_1}}$=（-x₁，-y₁）•（-1-x₁，-y₁）
=${{x}_{1}}^{2}$+x₁+${{y}_{1}}^{2}$
=${{x}_{1}}^{2}$+x₁+（1-$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$）
=$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$+x₁+1
=$\frac{1}{2}$$（{x}_{1}+1）^{2}$$+\frac{1}{2}$，
∵x₁∈[$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{A{F_1}}$∈[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}+2$]．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．