Question

5．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．
①求b，c的值；
②已知a∈R，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 ①先求出函数的导数，结合切线方程得到方程组，从而求出b，c的值；
②先求出函数f（x）的表达式，求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调区间．

解答 解：（1）f′（x）=x²-ax+b，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=1\\ f'（0）=0\end{array}\right.$即：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b=0}\end{array}\right.$
（2）由（1），得f′（x）=x²-ax=x（x-a），…（6分）
若a＞0   当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]，[a，+∞），
单调递减区间为[0，a]．…（8分）
若a=0 则f′（x）≥0，故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）…（10分）
若a＜0   当x∈（-∞，a）时，f′（x）＞0；
当x∈（a，0）时，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，a]，[0，+∞），
单调递减区间为[a，0]．…（12分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查通过导数研究函数的单调性问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．