Question

17．在△ABC中AC=BC=3，AB=2，P为三角形ABC内切圆圆周上一点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值与最小值之差为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 以D为坐标原点，AB，DC的方向分别为x，y轴，建立坐标系，求出A，B，P的坐标，进而求出向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$的坐标，代入向量数量积公式，进而结合正弦函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：在△ABC中AC=BC=3，AB=2，
∴三角形底边上的高CD=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{2}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，

设三角形ABC内切圆半径为R，则$\frac{1}{2}$（3+3+2）R=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$，
解得：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
以D为坐标原点，AB，DC的方向分别为x，y轴，建立坐标系，
则A（-1，0），B（1，0），P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ，$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+1）），
则$\overrightarrow{PA}$=（-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+1）），$\overrightarrow{PB}$=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+1）），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{1}{2}$cos²θ-1+$\frac{1}{2}$（sinθ+1）²=sinθ，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值为1，最小值为-1，
则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值与最小值之差为2，
故选：D

点评 本题考查的知识点是向量的数量积运算，是向量与解三角形的综合应用，难度中档．