Question

9．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点．
（1）判断BD₁与平面AEC的位置关系，并证明你的结论．
（2）若AB=BC=$\sqrt{3}$，CC₁=2，求异面直线AE、BD₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，设交AC于O，连接EO，便可说明BD₁∥OE，由线面平行的判定定理即可得出BD₁∥平面AEC；
（2）由上面BD₁∥OE即可得到异面直线AE、BD₁所成的角为∠AEO，而通过条件可说明OE⊥AC，并且可求出AE，OE，从而根据直角三角形的边角关系cos∠AEO=$\frac{EO}{AE}$，这样即可求出异面直线AE，BD₁所成角的余弦值．

解答 解：（1）BD₁∥平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；

∵E为DD₁的中点，∴OE∥BD₁；
∵OE?平面AEC，BD₁?平面AEC；
∴BD₁∥平面AEC；
（2）∵OE∥BD₁；
∴异面直线AE，BD₁所成的角为∠AEO；
∵$AB=BC=\sqrt{3}，C{C}_{1}=2$；
∴EA=EC=2，$EO=\frac{1}{2}B{D}_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2}$；
∴EO⊥AC；
∴Rt△AEO中，cos$∠AEO=\frac{EO}{EA}=\frac{\sqrt{10}}{4}$；
因此，异面直线AE，BD₁所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 考查三角形中位线的性质，线面平行的判定定理，以及异面直线所成角的定义及求法，直角三角形边角的关系．