Question

11．已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n（n∈N^*）．
（1）若{b_n]为等差数列，b₁=c₁=2，a_n=2n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=2ⁿ+n，a_n=$\frac{1+（-1）^{n}}{2}$．当b₁=1时，求数列{b_n]的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过在（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n中令n=1，进而计算即得结论；
（2）通过a_n+1-a_n=（-1）ⁿ⁺¹易知需要对n的奇偶性分情况讨论，利用叠加法计算即得结论．

解答 解：（1）记数列{b_n]的公差为d，
依题意，（a₂-a₁）（b₂-b₁）=c₁，
∴（4-2）d=2，即d=1，
∴b_n=2+（n-1）=n+1，
∴S_n=$\frac{n（n+1+2）}{2}$=$\frac{n（n+3）}{2}$；
（2）∵a_n=$\frac{1+（-1）^{n}}{2}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1+（-1）^{n+1}}{2}$-$\frac{1+（-1）^{n}}{2}$=（-1）ⁿ⁺¹，
∵c_n=2ⁿ+n，
∴b_n+1-b_n=$\frac{{c}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=（-1）ⁿ⁺¹•（2ⁿ+n），
∴b_n-b_n-1=（-1）ⁿ•（2^n-1+n-1）（n≥2），
b_n-1-b_n-2=（-1）^n-1•（2^n-2+n-2），

b₃-b₂=（-1）³•（2²+2），
b₂-b₁=（-1）²•（2¹+1），
当n=2k时，以上各式相加得：b_n-b₁=（2-2²+2³-…-2^n-2+2^n-1）+[1-2+3-…-（n-2）+（n-1）]
=$\frac{2[1-（-2）^{n-1}]}{1-（-2）}$+$\frac{n}{2}$
=$\frac{2+{2}^{n}}{3}$+$\frac{n}{2}$，
∴b_n=b₁+$\frac{2+{2}^{n}}{3}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{5}{3}$；
当n=2k-1时，b_n=b_n+1-（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+n）
=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$+$\frac{n+1}{2}$+$\frac{5}{3}$-2ⁿ-n
=-$\frac{{2}^{n}}{3}$-$\frac{n}{2}$+$\frac{13}{6}$；
综上所述，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{2}^{n}}{3}-\frac{n}{2}+\frac{13}{6}，}&{n=2k-1}\\{\frac{{2}^{n}}{3}+\frac{n}{2}+\frac{5}{3}，}&{n=2k}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．