Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1a_n=2ⁿ（n∈N），则S₂₀₁₄=（　　）

• A． 2²⁰¹⁴-1
• B． 2¹⁰⁰⁷-1
• C． 2¹⁰⁰⁷-3
• D． 2¹⁰⁰⁷-2

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}项构成1为首项2为公比的等比数列，由求和公式可得．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1a_n=2ⁿ（n∈N），
∴a_n+2a_n+1=2ⁿ⁺¹，∴$\frac{{a}_{n+2}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{a_n}的奇数项构成1为首项2为公比的等比数列，
由a_n+1a_n=2ⁿ可得a₂a₁=2，∴a₂=2，
∴数列{a_n}的偶数项构成2为首项2为公比的等比数列，
∴数列{a_n}项构成1为首项2为公比的等比数列，
∴S₂₀₁₄=$\frac{1×（1-{2}^{2014}）}{1-2}$=2²⁰¹⁴-1
故选：A

点评 本题考查等比数列的求和公式，判定数列为等比数列是解决问题的关键，属基础题．