Question

9．定义在R上的函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，恒有f（x）＞0则
（1）求证f（x）是R上的奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性并说明理由；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=0可得f（0）=0，再令y=-x，可求得f（x）+f（-x）=0，从而可判断函数f（x）为奇函数，问题得证；
（2）f（x）为R上的单调增函数．由条件x＞0时，恒有f（x）＞0，运用单调性的定义结合奇函数的性质，即可判断函数f（x）在R上的单调性；
（3）依题意，可求得f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），再结合f（x）为R上的单调增函数，可求得k•3^x＜-3^x+9^x+2?k＜-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$恒成立，求得-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$的最小值即可．

解答 解：（1）证明：令x=y=0，得 f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0，
由已知，函数f（x）的定义域关于原点对称，
令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x），
由于f（0）=0，得f（-x）=-f（x），
所以，函数f（x）为奇函数；
（2）f（x）为R上的单调增函数．
x＞0时，恒有f（x）＞0，
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0，
即为f（x₂）+f（-x₁）＞0，即有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）为R上的单调增函数；
（3）由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，
即有f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2），即f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），
因为f（x）为R上的单调增函数，
所以k•3^x＜-3^x+9^x+2，即k＜-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$，
因上式对于?x∈R恒成立，
只需k小于-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$的最小值，
由于3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$≥2$\sqrt{2}$，
所以-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$≥2$\sqrt{2}$-1，
所以k＜2$\sqrt{2}$-1，
故实数k的取值范围为（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，突出考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查函数恒成立问题，属于中档题．