Question

19．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{2}^{x}，x≤0}\\{ax-lnx，x＞0}\end{array}\right.$，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 当x≤0时，f（x）=x+2^x，单调递增，由f（-1）f（0）＜0，可得f（x）在（-1，0）有且只有一个零点；x＞0时，f（x）=ax-lnx有且只有一个零点，即有a=$\frac{lnx}{x}$有且只有一个实根．令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值．

解答 解：当x≤0时，f（x）=x+2^x，单调递增，
f（-1）=-1+2^-1＜0，f（0）=1＞0，
由零点存在定理，可得f（x）在（-1，0）有且只有一个零点；
则由题意可得x＞0时，f（x）=ax-lnx有且只有一个零点，
即有a=$\frac{lnx}{x}$有且只有一个实根．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为$\frac{1}{e}$，
如图g（x）的图象，当直线y=a（a＞0）与g（x）的图象
只有一个交点时，则a=$\frac{1}{e}$．
故答案为：$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查函数的零点的判断，考查函数的零点存在定理和导数的运用：求单调区间和极值，属于中档题．