Question

11．将函数y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，再将所得图象上各点横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象上各点纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变），得到函数y=f（x）的图象；
（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求此函数的对称中心的坐标；
（Ⅲ）用五点作图法作出这个函数在一个周期内的图象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得函数y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数f（x）的对称中心．
（Ⅲ）用五点法作函数在一个周期内的图象．

解答 解：（Ⅰ）将函数y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再将所得图象上各点横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得y=sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再将所得图象上各点纵坐标伸长为原来的4倍这个函数y=f（x）的解析式为：$f（x）=4sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）使函数取值为0的点即为函数的对称中心，所以，令 $\frac{1}{3}x-\frac{π}{3}=kπ$，k∈Z，可得x=（3k+1）π，
即函数的对称中心为（（3k+1）π，0）（k∈Z）．
（Ⅲ）（一）列表：

x	π	$\frac{5π}{2}$	4π	$\frac{11π}{2}$	7π
$\frac{1}{3}x-\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
$y=4sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{3}）$	0	4	0	-4	0

（二）描点；（三）连线；图象如图：
（8分）

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，用五点法作函数在一个周期上的简图，属于基础题．