Question

17．已知f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，不等式f（2^x）-k•2^x≥0，在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 运用参数分离可得k≤1+（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$对x∈[-1，1]上恒成立，令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则$\frac{1}{2}$≤t≤2，再用配方，结合二次函数的值域求法，求得最小值，即可得到k的范围．

解答 解：不等式f（2^x）-k•2^x≥0即为
2^x+2^-x-2-k•2^x≥0，即有
k≤1+（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$对x∈[-1，1]上恒成立，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则$\frac{1}{2}$≤t≤2，
即有k≤1+t²-2t=（t-1）²的最小值．
当t=1时，（t-1）²取得最小值，且为0，
即有k≤0，
则k的范围是（-∞，0]．

点评 本题考查不等式的恒成立问题，主要考查指数函数的单调性的运用，注意运用参数分离以及换元法，属于中档题．