Question

9．已知函数f（x）=e^x，g（x）=lnx的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则满足k＜|AB|恒成立的最大正整数k为参考数据e≈2.718，e^0.1≈1.65，e^0.4≈1.82（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由题意得|AB|=e^m-lnm，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值，问题得以解决．

解答 解：由题意得|AB|=e^m-lnm，
令h（m）=e^m-lnm，
∴h′（m）=e^m-$\frac{1}{m}$，
∵h′（0.5）=e^0.5-2＜0，h′（0.6）=e^0.6-$\frac{5}{3}$＞0，
∴?m₀∈（0.5，0.6），使得h′（m₀）=0，
即e^m₀=$\frac{1}{{m}_{0}}$，m₀=$\frac{1}{{e}^{{m}_{0}}}$，
且m∈（0，m₀）时，h（m）单调递减，m∈（m₀，+∞）时，h（m）单调递增，
∴h（m）_min=h（m₀）=e^m₀-lnm₀=e^m₀+m₀∈（2，15，2，42），
∴满足条件的最大正整数为2．
故选：C．

点评 本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题