Question

7．已知函数f（x）=e^x+ax-1（a为常数，a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对所有x≥0都有f（x）≥f（-x），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数的解析式，求出函数导函数，进而对a进行分类讨论，即可得到不同情况下函数f（x）的单调区间；
（2）若对所有x≥0都有f（x）≥f（-x），即e^x-e^-x+2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，构造函数令g（x）=e^x-e^-x+2ax，结合g（0）=0，可得g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出函数的导函数，结合基本不等式求出最值，可得a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a，
当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数，
当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞ln（-a），f（x）在（ln（-a），+∞）上是单调增函数；
由f′（x）＜0，得x＜ln（-a），f（x）在（-∞，ln（-a））上是单调减函数．
综上，a≥0时，f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；
a＜0时，f（x）的单调增区间是（ln（-a），+∞），单调减区间是（-∞，ln（-a））．
（2）当x≥0时，f（x）≥f（-x）恒成立，
即e^x+ax≥e^-x-ax恒成立，即e^x-e^-x+2ax≥0恒成立，
令h（x）=e^x-e^-x+2ax，即当x0时，h（x）≥0恒成立，
又h′（x）=e^x+e^-x+2a，且h′（x）≥2+2a，x=0时等号成立．
①当a≥-1时，h′（x）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上是增函数，
故h（x）≥h（0）=0恒成立．
②当a＜-1时，方程h′（x）=0的正根为x₁=ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$），
当x∈（0，x₁）时，h′（x）＜0，故h（x）在该区间为减函数，
所以，x∈（0，x₁）时，h（x）＜h（0）=0，∴a＜-1时不符合题意．
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的零点，函数恒成立，是函数，导数，不等式的综合应用，难度中档．