Question

15．设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N⁺），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式$\frac{1}{2}$f（bx²）-f（x）＞$\frac{1}{2}$f（b²x）-f（b），（b＞0）

Answer 1

分析 （1）由条件令x=y=0可求得f（0）=0．设y=-x，化简可得f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数；
（2）由xf（x）＜0，可得当x＞0时，f（x）＜0．任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，根据f（x₂）=f（x₂-x₁）+f（x₁），可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，所以f（x）在[-n，n]上为减函数，从而求得函数最大值和最小值；
（3）由题设可知$\frac{1}{2}$f（bx²）+$\frac{1}{2}$f（b）+$\frac{1}{2}$f（b）＞$\frac{1}{2}$f（b²x）+$\frac{1}{2}$f（x）+$\frac{1}{2}$f（x），可化为f（bx²+b+b）＞f（b²x+x+x）．再根据f（x）在R上为减函数，可得bx²+2b＜b²x+2x，即（bx-2）（x-b）＜0．再根据一元二次不等式的解法，分类讨论，求得它的解集．

解答 解：（1）∵函数f（x）对任意x，y∈R，
都有f（x+y）=f（x）+f（y），
设x=y=0可求得f（0）=0．
设y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）由xf（x）＜0，可得
当x＞0时，f（x）＜0；当x＜0时，f（x）＞0．
任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁），
所以f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
所以f（x）在[-n，n]上为减函数．
那么函数最大值为f（-n），最小值为f（n），
且f（-n）=-nf（1）=2n，f（n）=nf（1）=-2n，
所以函数最大值为2n，所以函数最小值为-2n．
（3）由题设可知$\frac{1}{2}$f（bx²）+f（b）＞$\frac{1}{2}$f（b²x）+f（x），
即$\frac{1}{2}$f（bx²）+$\frac{1}{2}$f（b）+$\frac{1}{2}$f（b）＞$\frac{1}{2}$f（b²x）+$\frac{1}{2}$f（x）+$\frac{1}{2}$f（x），
可化为$\frac{1}{2}$f（bx²+b+b）＞$\frac{1}{2}$f（b²x+x+x），
即f（bx²+b+b）＞f（b²x+x+x）．
∵f（x）在R上为减函数，∴bx²+2b＜b²x+2x，
即bx²-（b²+2）+2b＜0，即（bx-2）（x-b）＜0．
①当$\frac{2}{b}$＞b，即 0＜b＜$\sqrt{2}$，不等式的解集为 {x|b＜x＜$\frac{2}{b}$}，
②当$\frac{2}{b}$＜b，即 b＞$\sqrt{2}$，则不等式的解集为{x|$\frac{2}{b}$＜x＜b}，
③当$\frac{2}{b}$=b，即b=$\sqrt{2}$，则不等式无解，即解集为∅．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．