Question

10．某地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64am²，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积am²，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加am²．设第n（n≥1，且n∈N）年新城区的住房总面积为${a_n}{m^2}$，该地的住房总面积为${b_n}{m^2}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若每年拆除4am²，比较a_n+1与b_n的大小．

Answer 1

分析 （1）分1≤n≤4时和n≥5时两种情况加以讨论并结合等差、等比数列的通项公式，分别求出第n年新城区的住房建设面积为λ_n关于n、a的表达式，再利用等差、等比数列的求和公式即可求出{a_n}的通项公式关于n的分段形式的表达式；
（2）根据1≤n≤3、n=4 和5≤n≤11时a_n+1和b_n的表达式，结合作差法比较不等式大小，可得a_n+1＜b_n；而当 n≥12时可得a_n+1-b_n=（5n-59）a＞0，从而得到a_n+1＞b_n，最后加以综合即可得到a_n+1与b_n的大小的两种情况．

解答 解：（1）设第n年新城区的住房建设面积为${λ_n}{m^2}$，则当1≤n≤4时，λ_n=2^n-1a，
当n≥5时，λ_n=（n+4）a，
所以，当1≤n≤4时，${a_n}=（{2^n}-1）a$，
当n≥5时，a_n=a+2a+4a+8a+9a+…+n（n+4）a=$\frac{{n}^{2}+9n-22}{2}a$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（{2}^{n}-1）a}&{1≤n≤4}\\{\frac{{n}^{2}+9n-22}{2}}&{n≥5}\end{array}\right.$…6分
（2）当1≤n≤3时，a_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a，b_n=（2ⁿ-1）a+64a-4na，显然有a_n+1＜b_n…（7分）
当n=4 时，a_n+1=a₅=24a，b_n=b₄=63a，此时a_n+1＜b_n…（8分）
当5≤n≤16时，a_n+1=$\frac{{n}^{2}+11n-12}{2}$，b_n=$\frac{{n}^{2}+9n-22}{2}$，
∵a_n+1-b_n=（5n-59）a．
∴当5≤n≤11时，a_n+1＜b_n；当12≤n≤16时，a_n+1＞b_n．
当n≥17时，显然a_n+1＞b_n
故当1≤n≤11时，a_n+1＜b_n；当 n≥12时，a_n+1＞b_n…（13分）

点评 本题给出数列的实际应用题，求{a_n}的通项公式并比较a_n+1和b_n的大小．着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式，以及不等式比较大小等知识，属于中档题．