Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，用[x]表示不超过x的最大整数，则[$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$]=0．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=a_n²+a_n两边同时取倒数、整理可知$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，并项相加得$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$，利用a_n+1＞a_n＞1及取整函数即得结论．

解答 解：对a_n+1=a_n²+a_n两边同时取倒数，得：
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（1+{a}_{n}）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$，
∵a_n+1=a_n²+a_n，a₁=1，
∴a_n+1＞a_n＞1，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$＜1，
∴[$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$]=0，
故答案为：0．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．