Question

在△ABC中，已知tan=sin（A+B），给出以下四个论断：
①tanA×cotB=1②1＜sinA+sinB≤
③sin²A+cos²B=1    ④sin²A+sin²B+sin²C=2
其中一定正确的是    （填上所有正确论断的序号）．

Answer 1

【答案】分析：本题考查的知识点两角和与差的正弦函数，及三角函数中的恒等变形，由△ABC中三个内角和为π，结合tan=sin（A+B）我们易判断三个内角A，B，C之间的关系，然后逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．
解答：解：∵A+B+C=180°
∴sin（A+B）=sinC
又∵tan===sin（A+B），
∴cosC=0
即C=90°
∴A+B=90°
故tanA×cotB=tanA²=1不一定成立，故①错误；
1＜sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+）≤，故②正确；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=1 不一定成立，故③错误；
sin²A+sin²B+sin²C=sin²A+cos²A+sin²C=2，故④正确；
故答案为：②④
点评：要根据某个恒成立的三角函数关系式，判断三角形的形状，一般的思路是分析角与角的关系，如果有三个角相等，则为等边三角形；如果只能得到两个角相等，则为普通的等腰三角形；如果两个角和为90°，或一个角为90°，则为直角三角形．