Question

【题目】设正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足 ．
（1）计算a1 ， a2 ， a3的值，并猜想{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时， ，

得a1=1； ，得a2=2，

，得a3=3，

猜想an=n

（2）解：证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立，

（ⅱ）假设当n=k时，ak=k，

则当n=k+1时， = ，

整理得： ，即[ak+1﹣（k+1）][ak+1+（k﹣1）]=0，

结合an＞0，解得ak+1=k+1，

于是对于一切的自然数n∈N*，都有an=n

【解析】（1）利用递推关系式求解数列a1 ， a2 ， a3的值，猜想{an}的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，逐步证明即可．
【考点精析】利用数列的通项公式和数学归纳法的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．