Question

【题目】已知f（x）=（ ）2（x＞1）
（1）求f（x）的反函数及其定义域；
（2）若不等式（1﹣ ）f﹣1（x）＞a（a﹣ ）对区间x∈[ ， ]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解；∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（ ）2（x＞1），解得x= ，∴f﹣1（x）= （0＜x＜1）
（2）解；∵f﹣1（x）= （0＜x＜1），∴不等式（1﹣ ）f﹣1（x）＞a（a﹣ ）在区间x∈[ ， ]恒成立 在区间x∈[ ， ]恒成立，

对区间x∈[ ， ]恒成立．

当a=﹣1时，不成立，

当a＞﹣1时，a＜ 在区间x∈[ ， ]恒成立，a＜（ ）min，﹣1＜a＜ ．

当a＜﹣1时，a＞ 在区间x∈[ ， ]恒成立，a＞（ ）max，a无解．

综上：实数a的取值范围：﹣1＜a＜

【解析】（1）求出f（x）的值域，即f﹣1（x）的定义域，令y=（ ）2 ， 解得x= ，可得f﹣1（x）．（2）不等式（1﹣ ）f﹣1（x）＞a（a﹣ ）在区间x∈[ ， ]恒成立 在区间x∈[ ， ]恒成立， 对区间x∈[ ， ]恒成立．