练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=
    1
    2
    ．过F1的直线交椭圆于A、B 两点，点A在x轴上方，且△ABF2的周长为8．
    （1）求椭圆E 的方程；
    （2）当AF1、F1F2、AF2 成等比数列时，求直线AB的方程；
    （3）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4 相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由|AB|+|AF2|+|BF2|=8，解得a=2，由此能求出椭圆方程．
    （2）由已知得AF1•AF2=4，从而AF1=AF2=2，△AF1F2 是等边三角形，由此能求出直线AB的方程．
    （3）由
    y=kx+m
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，得94k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出存在定点M（1，0），符合题意．
    解答： （15分）
    解：（1）因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8，
    即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8 
    而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a，
    ∴4a=8，解得a=2，
    而e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，∴c=
    1
    2
    a=1    ，∴b2=a2-c2=3．
    所求椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1     
    （2）∵AF1、F1F2、AF2 成等比数列，∴AF1•AF2=4，
    又AF1+AF2=4，∴AF1=AF2=2，△AF1F2 是等边三角形
    ∴直线AB 的倾斜角为
    π
    3
    或
    2π
    3
    ，
    ∴直线AB 的方程为
    		3
    x-y+
    		3
    =0或
    		3
    x+y+
    		3
    =0．
    （3）由
    y=kx+m
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，得94k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，
    △=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，即4k2-m2+3=0 
    x0=
    4km
    4k2+3
    =-
    4k
    m
    ，y0=
    3
    m
    ，
    ∴P(-
    4k
    m
    ，
    3
    m
    )    ，由
    y=kx+m
    x=4
    ．得Q（4，4k+m），
    设存在M（x1，0），则由
    MP
    •
    MQ
    =0     
    可得-
    16k
    m
    +
    4kx1
    m
    -4x1+x12+
    12k
    m
    +3=0     
    ∴(4x1-4)
    k
    m
    +x12-4x1+3=0    ，
    由于对任意m，k 恒成立，联立解得x1=1．
    故存在定点M（1，0），符合题意．
    点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    平面内给定三个向量
    a
    =（3，2），
    b
    =（-1，2），
    c
    =（4，1）．
    （1）若（
    a
    +k
    c
    ）⊥（2
    b
    -
    a
    ），求实数k；
    （2）若向量
    d
    满足
    d
    ∥
    c
    ，且|
    d
    |=
    		34
    ，求向量
    d
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x+
    a
    x
    +b（x≠0）．，其中a，b∈R
    （1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
    （2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知曲线C1：
    x=1+
    		2
    cost
    y=1+
    		2
    sint
    （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sinθ．
    （1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
    （2）求C1与C2交点的极坐标（p≥0，0≤θ＜2π）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点A（2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线C2：x2=4y交于不同两点B，C，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）是否存在满足（|
    PF1
    |-|
    AF1
    |）+（|
    PF2
    |-|
    AF2
    |）=0的点P？若存在，指出这样的点P有几个，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点P是直线l：3x-4y+5=0上的动点，定点Q的坐标为（1，1），求线段PQ长的最小值及取得最小值时P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图1，在平面内，ABCD是AB=2，BC=
    		2
    的矩形，△PAB是正三角形，将△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如图2，E为AB的中点，设直线l过点C且垂直于矩形ABCD所在平面，点F是直线l上的一个动点，且与点P位于平面ABCD的同侧．

    （1）求证：PE⊥平面ABCD；
    （2）设二面角F-PB-D的大小为θ，若θ=
    π
    4
    ，求线段CF的长．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    		3
    sin2x-2cos2x-1，x∈R．
    （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
    （Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=
    		3
    ，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    4x，x≤1
    -x，x＞1
    ，若f（-x）=2，则x=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案