Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点，两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），点A（2，3）在椭圆C₁上，过点A的直线L与抛物线C₂：x²=4y交于不同两点B，C，抛物线C₂在点B，C处的切线分别为l₁，l₂，且l₁与l₂交于点P．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在满足（|

PF1

|-|

AF1

|）+（|

PF2

|-|

AF2

|）=0的点P？若存在，指出这样的点P有几个，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依题意：

22 a2 + 32 b2 =1 a2=b2+4.

，由此能求出椭圆C₁的方程．（2）设直线L的方程为y=k（x-2）+3，由

y=k(x-2)+3 x2=4y

，得由此能求出满足条件的点P的个数及其坐标．

解答： 解：（1）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
依题意：

22 a2 + 32 b2 =1 a2=b2+4.

解得：

a2=16 b2=12.

∴椭圆C₁的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．…（5分）
（2）显然直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=k（x-2）+3，
由

y=k(x-2)+3 x2=4y

消去y，得x²-4kx+8k-12=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-12．
由x²=4y，即y=

1

4

x2，得y′=

1

2

x．
∴抛物线C₂在点B处的切线l₁的方程为y-

y

1

=

x1

2

(x-x1)，即y=

x1

2

x+y1-

1

2

x

2 1

．…（7分）
∵y1=

1

4

x

2 1

，∴y=

x1

2

x-

1

4

x

2 1

．
同理，得抛物线C₂在点C处的切线l₂的方程为y=

x2

2

x-

1

4

x

2 2

．
由

y= x1 2 x- 1 4 x 2 1 y= x2 2 x- 1 4 x 2 2

解得

x= x1+x2 2 =2k y= x1x2 4 =2k-3

∴P（2k，2k-3）．…8 分
∵(|

PF1

|-|

AF1

|)+(|

PF2

|-|

AF2

|)=0，
∴点P在椭圆C1：

x2

16

+

y2

12

=1上．∴

(2k)2

16

+

(2k-3)2

12

=1．
化简得7k²-12k-3=0．…（10分）
由△=12²-4×7×（-3）=228＞0，k=

6± 57

7

，
∴P(

12-2 57

7

，

-2 57 -9

7

)或P(

12+2 57

7

，

2 57 -9

7

)
∴满足条件的点P有两个，
坐标P(

12-2 57

7

，

-2 57 -9

7

)或P(

12+2 57

7

，

2 57 -9

7

)…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标的个数的判断与坐标的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．