Question

试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对椭圆C₁：=1(a>b>0)上任意一点P，均存在以P为顶点与圆C₀：x²+y²=1外切且与C₁内接的平行四边形？证明你的结论。

Answer 1

答案：
解析：

解：如图所示，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心，所求条件为 必要性的证明： 设椭圆C1上任意一点P(r1cosθ，r1sinθ)，所以有Q(r2cos(θ+)，r2sin(θ+))， 其中|OP|=r1,|OQ|=r2,代入椭圆方程中，得 又菱形PQRS与单位圆C0外切，所以Rt△POQ斜边PQ上的高h=1。而 充分性的证明：设,P是椭圆Cl上任意一点，过P、O作C1的弦PR,再过O作与PR垂直的弦QS，则PQRS为椭圆C1的内接菱形。 设|OP|=r1，|OQ|=r2，则P的坐标为(r1cosθ，r1sinθ)，Q的坐标为(r2cos(θ+)，r2sin(θ+)), 代入椭圆方程，得 又在Rt△POQ中，斜边PQ上的高h=1,则h= = ∴ 同理，点O到QR，RS，SP的距离都是1，所以菱形PQRS与单位圆C0外切。