Question

已知曲线C₁的参数方程是

x=2cosθ y=2+2sinθ

（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=-4cosθ．
（1）求曲线C₁与C₂交点的极坐标；
（2）A、B两点分别在曲线C₁与C₂上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把

x=2cosθ y=2+2sinθ

消去θ化为普通方程，由极坐标方程ρ=-4cosθ化为直角坐标方程得x²+y²=-4x，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；
（2）画出两圆，数形结合得到A，C₁，C₂，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：（1）由

x=2cosθ y=2+2sinθ

，得

x=2cosθ y-2=2sinθ

，两式平方作和得：x²+（y-2）²=4，即x²+y²-4y=0；
由ρ=-4cosθ，得ρ²=-4ρcosθ，即x²+y²=-4x．
两式作差得：x+y=0，代入C₁得交点为（0，0），（-2，2）．
其极坐标为（0，0），（2

2

，

3π

4

）；
（2）如图，

由平面几何知识可知，A，C₁，C₂，B依次排列且共线时|AB|最大．
此时|AB|=2

2

+4，O到AB的距离为

2

．
∴△OAB的面积为S=

1

2

×(2

2

+4)×

2

=2+2

2

．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查了数形结合的解题思想方法，是基础的计算题．