Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n，且

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

，（n≥2，n∈N^•），设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n
（Ⅰ）判断数量{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅱ）设C_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

，证明

n

k=1

Ck＜1；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列{a_n}，若数列{l_n}满足l_n=log₂（a_n+1）（n∈N^•），在每两个l_k与l_k+1之间都插入2^k-1（k=1，2，3，…，k∈N^•）个2，使得数列{l_n}变成了一个新的数列{t_p}，（p∈N^•）试问：是否存在正整数m，使得数列{t_p}的前m项的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）根据已知等式，将a_n=S_n-S_n-1和a_n+1=S_n+1-S_n代入，化简整理得a_n+1=2a_n+1，由此即可证出数列{a_n+1}是公比为2的等比数列；
（II）由a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），得bn=1+

n(n-1)

2

，从而C_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，利用裂项求和法得到数列{c_n}的前n项和为

n

k=1

Ck=1-

1

2n+1-1

．由此能证明

k

k=1

Cn＜1．
（Ⅲ）首先根据a_n通项公式算出l_n=n（n∈N^*），结合题意利用等差、等比数列的求和公式算出得到数列{t_n}中，l_k（含其本身）前的所有项之和等于

k(k+1)

2

+2^k-2．再验证当k=10时，和为1077＜2011；当k=11时，和为2112＞2011．从而得到2011项在k=10与k=11之间，而2011-1077=467×2恰好为2的整数倍，由此加以计算即可得到存在m=998，使得T_m=2011．

解答： （Ⅰ）解：数列{a_n+1}是等比数列．
证明如下：
∵数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n，
且

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

，（n≥2，n∈N^•），
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又∵a₁=1，a₂=3
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
由a_n=2ⁿ-1及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n，得b_n+1=b_n+n，
∴bn=1+

n(n-1)

2

，
∴C_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
数列{c_n}的前n项和为：

n

k=1

Ck=（

1

2-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

＜1．
∴

k

k=1

Cn＜1．
（Ⅲ）解：由（I），得a_n+1=（a₁+1）•2^n-1，
∵a₁+1=2，∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，因此a_n=2ⁿ-1，
得b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n，即b_n+1=log₂2ⁿ+b_n，b_n+1=n+b_n，
∴b_n+1-b_n=n，分别取n=1、2、3、…、n-1
得b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=1+[1+2+3+…+（n-1）]=1+

n(n-1)

2

，∵l_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n（n∈N^*）
数列{t_n}中，l_k（含其本身）前的所有项之和为：
（1+2+3+…+k）+2（2⁰+2¹+2²+…+2^k-2）=

k(k+1)

2

+2^k-2
当k=10时，其和为55+2¹⁰-2=1077＜2011；
当k=11时，其和为66+2¹¹-2=2112＞2011
又∵2011-1077=467×2，恰好为2的整数倍
∴当m=10+（1+2+2²+…+2⁸）+467=988时，T_m=2011
综上所述，得存在m=998，使得T_m=2011．

点评：本题着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式、数列的通项与求和和对数的运算法则等知识，考查了转化、化归与函数方程数学思想的应用，属于中档题．