Question

已知直线l₁：x-y+1=0和直线l₂：2x+y+2=0的交点为P．
（1）求交点P的坐标；
（2）求过点P且与直线2x-3y-1=0平行的直线l₃的方程；
（3）若过点P的直线l₄被圆C：x²+y²-4x+4y-17=0截得的弦长为8，求直线l₄的方程．

Answer 1

分析：（1）联立方程即可解出点P的坐标；
（2）设过点P且与直线2x-3y-1=0平行的直线l₃的方程为2x-3y+m=0，把点P（-1，0）代入得-2-0+m=0，解得m即可；
（3）分类讨论直线l₄的斜率：①当过点P的直线l₄的斜率存在时，设方程为y-0=k（x+1），则圆心C到直线l₄的距离d=

|2k+2+k|

1+k2

，利用d2+(

l

2

)2=r2，解出k即可．．
②当过点P的直线l₄的斜率不存在时，联立

x=-1 (x-2)2+(y+2)2=25

，解出已知即可．

解答：解：（1）联立

x-y+1=0 2x+y+2=0

，解得

x=-1 y=0

，∴P（-1，0）；
（2）设过点P且与直线2x-3y-1=0平行的直线l₃的方程为2x-3y+m=0，把点P（-1，0）代入得-2-0+m=0，解得m=2，故所求的方程为2x-3y+2=0；
（3）由圆C：x²+y²-4x+4y-17=0得（x-2）²+（y+2）²=25，得圆心C（2，-2），半径r=5．
①当过点P的直线l₄的斜率存在时，设方程为y-0=k（x+1），则圆心C到直线l₄的距离d=

|2k+2+k|

1+k2

，
∵d2+(

l

2

)2=r2，∴

(3k+2)2

k2+1

+42=52，化为12k=5，解得k=

5

12

，∴直线l₄的方程为：y=

5

12

(x+1)，化为5x-12y+5=0．
②当过点P的直线l₄的斜率不存在时，联立

x=-1 (x-2)2+(y+2)2=25

，解得

x=-1 y=2或-6

．
弦长=2-（-6）=8，满足条件．
综上可知：直线l₄的方程为5x-12y+5=0或x=-1．

点评：熟练掌握直线相交问题转化为方程联立、平行线之间的斜率关系、直线与圆相交弦长问题、弦长公式、点到直线的距离公式、分类讨论等是解题的关键．