Question

已知直线l₁：x+y-3=0，l₂：x-y-1=0．
（Ⅰ）求过直线l₁与l₂的交点，且垂直于直线l₃：2x+y-1=0的直线方程；
（Ⅱ）过原点O有一条直线，它夹在l₁与l₂两条直线之间的线段恰被点O平分，求这条直线的方程．

Answer 1

分析：（I）先求出直线的交点，然后根据垂直，斜率之积为-1，求出所求直线方程的斜率，即可求出直线方程；
（II）当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为y=kx，进而得出交点，从而知

3

k+1

+

1

1-k

=0，求出k的值．

解答：解：（Ⅰ）由

x+y-3=0 x-y-1=0

得

x=2. y=1

∵所求的直线垂直于直线l₃：2x+y-1=0，∴所求直线的斜率为

1

2

，
∴所求直线的方程为x-2y=0．
（Ⅱ）如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为x=0，不合题意．
所以设所求的直线方程为y=kx．
所以它与l₁，l₂的交点分别为(

3

k+1

，

3k

k+1

)，(

1

1-k

，

k

1-k

)．
由题意，得

3

k+1

+

1

1-k

=0．
解得k=2．
所以所求的直线方程为2x-y=0．

点评：此题考查了两直线垂直的条件，交点坐标的求法等知识，有一定的综合性，属于中档题．